Atvasināts vs diferenciālis

Diferenciālajā aprēķinā funkcijas atvasinājums un diferenciālis ir cieši saistītas, bet tām ir ļoti atšķirīga nozīme, un tās tiek izmantotas, lai attēlotu divus svarīgus matemātiskos objektus, kas saistīti ar diferencējamām funkcijām.

Kas ir atvasinājums?

Funkcijas atvasinājums mēra ātrumu, ar kādu mainās funkcijas vērtība, mainoties tās ievadei. Vairāku mainīgo funkcijās funkcijas vērtības izmaiņas ir atkarīgas no neatkarīgo mainīgo vērtību izmaiņu virziena. Tāpēc šādos gadījumos tiek izvēlēts noteikts virziens, un funkcija tiek diferencēta šajā konkrētajā virzienā. Šo atvasinājumu sauc par virziena atvasinājumu. Daļēji atvasinājumi ir īpaša veida virziena atvasinājumi.

Kas ir diferenciālis?

Izmantojot ierobežojumus, šo definīciju var iegūt šādi. Pieņemsim, ka ∆x ir izmaiņas x patvaļīgā punktā x un ∆f ir atbilstošās izmaiņas funkcijā f. Var parādīt, ka ∆f = f (1) (x) ∆x + ϵ, kur ϵ ir kļūda. Tagad robeža ∆x → 0∆f / ∆x = f (1) (x) (izmantojot iepriekš noteikto atvasinājuma definīciju) un tādējādi ∆x → 0ϵ / ∆x = 0. Tāpēc ir iespējams secināt ka ∆x → 0ϵ = 0. Tagad, apzīmējot ∆x → 0 ∆f kā df un ∆x → 0 ∆x kā dx, tiek precīzi iegūta diferenciāļa definīcija.